Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． 如图所示．
（1）若设圆柱底面半径为r，求证：r=R（1-

x

H

）；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）我们可以画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，易得到结论．
（2）由圆柱的侧面积公式，我们易得S_侧=2πrx=2πxR（1-

x

H

），展开后易得一个关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x的值．

解答：解：（1）根据已知，如下图所示

记轴截面为△SAB，EFGH为内接矩形，F在SB上．
则

x

H

=

BF

SB

，

r

R

=

SF

SB

，
则

x

H

+

r

R

=1，
r=R（1-

x

H

）．（4分）
（2）S_侧=2πrx=2πxR（1-

x

H

）（6分）
=

2πR

H

[-(x-

H

2

)2+

H2

4

]（8分）
当x=

H

2

时，y_max=

πRH

2

（10分）

点评：本题考查的知识点是圆锥的几何特征及圆锥及圆柱的侧面积公式，将空间问题转化为平面问题是解答立体几何题最常用的思路．