Question

如图，已知一个圆锥的底面半径为R=1，高为h=2．，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x．
（1）求圆柱的侧面积．
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

分析：（1）根据已知中圆锥的底面半径为R=1，高为h=2，圆柱的高为x，根据相似三角形的性质，分析圆锥的高与底面半径的关系，可得圆柱的侧面积．
（2）由（1）中圆柱侧面积的表达式，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答：解：（1）作轴截面如图所示，
设内接圆柱底面半径为r
由三角形相似得

r

R

=

h-x

h

，
所以r=

1

2

(2-x)，
S_圆柱侧=2πx•

1

2

(2-x)=πx(2-x)=π（-x²+2x）（0＜x＜2）．…（8分）
（2）S_圆柱侧=π（-x²+2x）=π[-（x-1）²+1]，又0＜x＜2，
所以当x=1时，S圆柱侧最大=π．…（12分）

点评：本题考查的知识点是圆柱的表面积，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．