Question

如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．
（1）当x=

2

3

h时，求内接圆柱上方的圆锥的体积V；
（2）当x为何值时，这个内接圆柱的侧面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）根据圆锥的底面半径与高，可得内接圆柱的高为x时，它的高h，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；
（2）由（1）可得圆柱的侧面积S=2π•

h

R

(h-x)x，结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．

解答：解：圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，则

r

R

=

h-x

h

（3分）
（1）当x=

2

3

h时，r=

1

3

R，SK=

1

3

h
∴V=

1

3

•πr2•SK=

1

3

•

1

9

πR2•

1

3

h=

1

81

πhR2
（2）设圆柱的侧面积为S．
∵r=

h

R

(h-x)，
∴S=2π•

h

R

(h-x)x=-

2πR

h

(x-

h

2

)2+

πRh

2

∴当x=

h

2

时，Smax=

πRh

2

．

点评：本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱的体积、侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点