题目内容
【题目】设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且x∈（0，+∞），f（f（x）﹣ex+x）＝e.若不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，e﹣2]B.（﹣∞，e﹣1]C.（﹣∞，2e﹣3]D.（﹣∞，2e﹣1]
【答案】A
【解析】
先利用换元法求出f（x）的解析式，然后再用分离变量法，借助导数研究函数的单调性来解决问题.
设f（x）﹣ex+x＝t，则f（t）＝e，
∴f（x）＝ex﹣x+t，令x＝t得f（t）＝et﹣t+t＝e，解得t＝1，
∴f（x）＝ex﹣x+1，
f′（x）＝ex﹣1，
不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax，x∈（0，+∞）.即：a
2.
令g（x）
2，x∈（0，+∞）.
g′（x）
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值
..
∵不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤e﹣2.
∴a的取值范围是（﹣∞，e﹣2].
故选：A.
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