Question

【题目】已知函数．

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）证明：当时，不等式在上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出在上恒成立．构造函数，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围；

（2）分和来证明不等式成立，在时显然成立，在时，可考虑证，即证，构造函数，利用导数分析函数的单调性与最值，即可得证.

（1）因为，所以．

因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立．

令，则，

所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．

所以，所以，即，

故的取值范围为；

（2）显然，当时，在上恒成立．

当时，，所以可考虑证，即证．

令，则，

当时，，，即函数在上单调递增，

所以当时，，

所以当时，．

综上，当时，不等式在上恒成立．