Question

15．抛物线C₁：y=（x-m）²+m+1（m＞0）的顶点为A，抛物线C₂开口向下且顶点B在y轴上，若A，B两点关于点P（1，2）对称．
（1）求m的值；
（2）若抛物线C₂与x轴的正半轴的交点是C，当△ABC为直角三角形时，求抛物线C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）由C₁：y=（x-m）²+m+1（m＞0），可求得顶点A（m，m+1），由于点B在y轴上，根据对称即可解得m=2；
（2）由（1）知A（2，3）、B（0，1）根据勾股定理可得AB²=（2-0）²+（3-1）²=8由抛物线C₂的顶点B（0，1）在y轴上得到抛物线C₂的解析式为y=ax²+1设点C坐标为（c，0），根据勾股定理得到AC²=（2-c）²+3²=c²-4c+13；BC²=c²+1由于△ABC是直角三角形，进行分类讨论即可求出结果．

解答 解：（1）∵C₁：y=（x-m）²+m+1（m＞0）
∴顶点A（m，m+1），
∵点B在y轴上，
∴设B（0，b），
又A、B关于点P（1，2）对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+m}{2}=1}\\{\frac{b+m+1}{2}=2}\end{array}\right.$，解得：m=2；
（2）由（1）知A（2，3）、B（0，1）
∴AB²=（2-0）²+（3-1）²=8
∵抛物线C₂的顶点B（0，1）在y轴上
∴抛物线C₂的解析式为y=ax²+1
设点C坐标为（c，0），
∴AC²=（2-c）²+3²=c²-4c+13；BC²=c²+1
∵△ABC是直角三角形，
则：①当∠ABC=90°时，AC²=BC²+AB²，
即c²-4c+13=（c²+1）+8，解得：c=1
∴C₁（1，0），
将点C₁坐标代入y=ax²+1得：a+1=0；解得：a=-1，
∴抛物线C₂的解析式为：y=-x²+1，
②当∠BAC=90°时，BC²=AC²+AB²，
即c²+1=（c²-4c+13）+8，解得：c=5，
∴C₂（5，0），
将点C₂坐标代入y=ax²+1得：25a+1=0，解得：a=-$\frac{1}{25}$，
∴抛物线C₂的解析式为：y=-$\frac{1}{25}$x²+1，
综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C₂的解析式为：y=-x²+1或y=-$\frac{1}{25}$x²+1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，关于点对称，正确理解关于点对称是解题的关键．