题目内容

在平面直角坐标系xoy中,点B与点A(0,2)关于原点O对称,P是动点,AP⊥BP.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m与曲线C交于M、N两点,
ⅰ)若
OM
ON
=-1
,求实数m取值;
ⅱ)若点A在以线段MN为直径的圆内,求实数m的取值范围.
分析:(I)根据点B与点A(0,2)关于原点O对称,得出B(0,-2).如图,由于AP⊥BP,得出动点P的轨迹C是以O为圆心,2为半径的圆,最后写出动点P的轨迹C的方程;
(II)i)设直线l:y=x+m与曲线C交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点,将直线的方程代入圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值,从而解决问题.
ii)若点A在以线段MN为直径的圆内,则∠MAN>90°,即
AM
AN
< 0
,同i)理,即可求出实数m的取值范围.
解答:解:(I)∵点B与点A(0,2)关于原点O对称,
∴B(0,-2).如图,
∵AP⊥BP,
∴在直角三角形AOB中,OP=
1
2
AB=
1
2
×
4=2,
∴动点P的轨迹C是以O为圆心,2为半径的圆,
它的方程为x2+y2=4.
(II)
i)设直线l:y=x+m与曲线C交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点,
联立方程组
x2+y2=4
y=x+m
,得2x2+2mx+m2-4=0,
则x1+x2=-m,x1x2=
1
2
(m2-4),
且△=(2m)2-4×2(m2-4)≥0?-2
2
≤m≤2
2

∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=
1
2
(m2-4)+m(-m)+m2=
1
2
(m2-4),
OM
ON
=-1
,∴x1x2+y1y2=-1,
即m2-4=-1,∴m=±
3

ii)若点A在以线段MN为直径的圆内,则∠MAN>90°,
AM
AN
< 0

即(x1,y1-2)•(x2,y2-2)<0,
x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4<0
从而有:
1
2
(m2-4)+
1
2
(m2-4)-2(-m+2m)+4<0
∴0<m<2.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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