Question

【题目】已知函数.

（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）参变分离，由对任意恒成立，得对任意恒成立. 令，利用导数求出的最大值，即可求出的取值范围.

（2）若函数的两个零点为，，不妨设设，根据函数的单调性可得，要证，即证.只需证明.由，只需证明.令，，求导分析函数的单调性，进而可得：．

（1）解：由对任意恒成立，得对任意恒成立.

令，则.

令，则.

∴在上，，单调递增；在上，，单调递减.

∴，

则，即的取值范围为.

（2）证明：设，，则.

在上，，单调递增；在上，，单调递减.

∵，，当时，，且，

∴，，

要证，即证.

∵，，在上单调递减，

∴只需证明.

由，只需证明.

令，.

∵，∴，，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

即，∴.