题目内容
【题目】(Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣3|﹣2|x|,若关于x不等式f(x)≤|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求证 .
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=|2x﹣3|﹣|2x|≤|(2x﹣3)﹣2x|=3, ∴3≤|a+2|+2a,
当a<﹣2时,不等式为3≤﹣a﹣2+2a,解得a≥5(舍),
当a≥﹣2时,不等式为3≤a+2+2a,解得a≥ ,
综上,a的取值范围是[ ,+∞).
(Ⅱ)∵2x+y+z=1,∴(x+2y+z)+(z+3x)=4x+2y+2z=2,
∴ = ( )[(x+2y+z)+(z+3x)]
≥ ×(1+ )2=2+ .
【解析】(I)利用绝对值不等式的性质得出f(x)的最大值,得出关于a的不等式,再讨论a+2的符合解不等式即可;(II)利用柯西不等式即可得出结论.
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点,需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等才能正确解答此题.