题目内容

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）= $数学公式$ （x＞0）是否为闭函数？并说明理由．

解：（1）由题意，函数y=-x³是R上的减函数，若满足x∈[a，b]⊆R，且f（x）的值域为[a，b]；则f（a）=-a³，f（b）=-b³；
∴ $\text{[math]}$ ，且b＞a；解得 $\text{[math]}$ ，
所以，所求的区间为[-1，1]．
（2）∵当x＞0时，f（x）= $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时“=”成立，
∴f（x）不是（0，+∞）上的增函数或减函数；
所以，函数f（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
分析：（1）可设区间[a，b]满足条件，则[f（b），f（a）]与它相同，从而求得a、b的值；
（2）x＞0时，f（x）有最小值，不是定义域上的增函数或减函数，从而知f（x）不是闭函数．
点评：本题考查了新定义下的数学问题，利用题目中的定义来解答数学问题，有一定的挑战性．

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对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-

不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=

的函数为例）

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
①f(x)=(

)x； ②f（x）=x³； ③f（x）=log₂x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．

（2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
①f（x）=

；　
②f（x）=log₂（x²+2）；
③f（x）=2^x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是

．（写出所有满足要求的函数的序号）

对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
（Ⅰ）求“和谐”函数y=x³符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+

(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
（Ⅲ）若函数g(x)=

+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．