题目内容
（本小题满分14分）已知函数
。
(1)求函数
的单调区间与最值；
(2)若方程
在区间
内有两个不相等的实根，求实数
的取值范围； （其中e为自然对数的底数）
(3)如果函数
的图像与x轴交于两点
，且
，求证：
（其中，
是
的导函数，正常数
满足
）
解：（1）∵
，
，
-----1分
∴当
时，
，
单调递增；当
时，
，单调递减。
----3分
∴当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。 -----4分
故的单调递增区间为
，单调递减区间为
；最大值为-1，但无最小值。
（2）方程化为
，
-----5分
由（1）知，在区间
上的最大值为-1，
，
，
。故在区间上有两个不等实根需满足
，
-----7分
∴
，∴实数m的取值范围为
。
-----8分
（3）∵
，又
有两个实根
，
∴
两式相减，得
∴
-----10分
于是
=
.
∵
,∴
,∵
,∴
。 -----11分
要证：
，只需证：
.
只需证：
.
(＊)
令
，∴(＊)化为
只证
即可.
-----12分
，
，0<t<1，
∴t-1<0．
∴u'(t)>0,∴u(t)在(0，1)上单调递增，∴u(t)<u(1)=0
∴u(t)<0，
即：
.
.............14分
【解析】略
(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）