题目内容
选做题（考生只能从A，B，C中选做一题，多做以所做第一题记分）A．（不等式选做题）
已知a∈R，若关于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0无实根，则a的取值范围是
（-∞，-2）∪（2，+∞）
（-∞，-2）∪（2，+∞）
．B．（几何证明选做题）
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC=1，∠BCD=30°，则圆O的面积为
π
π
．C．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=
2
| 3 |
2
．| 3 |
分析：A．一元二次方程无实数根的充要条件是△＜0，转化为|a-1|+|a+1|＞4，对a分a＞1、-1≤a≤1、a＜-1三种情况讨论即可；
B．利用弦切角定理和正弦定理即可得出；
C．先把曲线的极坐标方程化为普通方程，再与直线的方程联立解出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出．
B．利用弦切角定理和正弦定理即可得出；
C．先把曲线的极坐标方程化为普通方程，再与直线的方程联立解出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出．
解答：解：A．∵关于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0无实根，∴△=42-4（|a-1|+|a+1|）＜0，解得|a-1|+|a+1|＞4，
①当a＞1时，上述不等式可化为2a＞4，解得a＞2＞1，满足条件；
②当-1≤a≤1时，上述不等式可化为2＞4，此时不符合条件，应舍去；
③当a＜-1时，上述不等式可化为-2a＞4，解得a＜-2，满足条件．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
B．由弦切角定理可得：∠CAB=∠DCB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得：
=2r，r为△ABC的外接圆的半径．
∴2r=
=2，解得r=1，
∴圆O的面积=π×12=π．
故答案为π．
C．∵曲线ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，化为普通方程：x2+y2=4x，与直线x=1联立得
，解得
．
∴A(1，
)，B(1，-
)．
∴|AB|=2
．
故答案为2
．
①当a＞1时，上述不等式可化为2a＞4，解得a＞2＞1，满足条件；
②当-1≤a≤1时，上述不等式可化为2＞4，此时不符合条件，应舍去；
③当a＜-1时，上述不等式可化为-2a＞4，解得a＜-2，满足条件．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
B．由弦切角定理可得：∠CAB=∠DCB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得：
| BC |
| sin30° |
∴2r=
| 1 |
| sin30° |
∴圆O的面积=π×12=π．
故答案为π．
C．∵曲线ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，化为普通方程：x2+y2=4x，与直线x=1联立得
|
|
∴A(1，
| 3 |
| 3 |
∴|AB|=2
| 3 |
故答案为2
| 3 |
点评：正确理解一元二次方程无实数根的条件、利用分类讨论方法解含绝对值不等式、弦切角定理和正弦定理、联立方程组的解与曲线与直线的交点、两点间的距离公式是解题的关键．
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