Question

4．已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax．
（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处切线的斜率为0，求a的值；
（2）在第（1）问的前提下，讨论函数y=f（x）的单调性及最值．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的导数，根据f′（0）=0，求出a的值即可；（2）先求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：（1）y=f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$-a，
∴f′（0）=$\frac{{e}^{0}}{{e}^{0}+1}$-a=$\frac{1}{2}$-a=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：
f（x）=ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{2{（e}^{x}+1）}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f（x）_最小值=f（0）=ln2，无最大值．

点评 本题考查了求切线的斜率问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．