题目内容

【题目】已知数列{bn}满足bn=| |,其中a1=2,an+1=
(1)求b1 , b2 , b3 , 并猜想bn的表达式(不必写出证明过程);
(2)由(1)写出数列{bn}的前n项和Sn , 并用数学归纳法证明.

【答案】
(1)解:∵a1=2,an+1= ,∴

又bn=| |,得b1=4,b2=8,b3=16,

猜想:


(2)解:由(1)可得,数列{bn}是以4为首项,2为公比的等比数列,

则有

证明:当n=1时, 成立;

假设当n=k时,有

则当n=k+1时, =2k+3﹣4=2k+1+2﹣4.

综上, 成立


【解析】(1)由已知结合数列递推式求得b1 , b2 , b3 , 并猜想bn的表达式;(2)由等比数列的前n项和公式求得数列{bn}的前n项和Sn , 并用数学归纳法证明.
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数学归纳法的定义,需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案.

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