题目内容
【题目】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的母线与底面所成的角;
(2)过底面中心且平行于母线的截平面,若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)为的抛物线,求圆锥的全面积;
(3)过底面点作垂直且于母线的截面,若截面与圆锥侧面的交线是长轴为的椭圆,求椭圆的面积(椭圆号的面积)
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根据侧面展开图的特征列方程得出底面半径和母线的关系,从而得出母线和底面所成的角;
(2)根据抛物线的一条弦为圆锥底面直径得出底面半径和的关系,从而可得圆锥的面积;
(3)根据三角形相似和圆锥的特点得出椭圆的长轴,短轴和底面半径的关系,从而可得长短轴的关系,得出答案.
(1)设圆锥的底面半径为,母线长为,则圆锥侧面展开图的半径为,弧长为,
圆锥的侧面展开图是一个半圆,
,,
圆锥的轴截面为等边三角形,
圆锥的母线与底面所成的角为;
(2)设抛物线的顶点为,
截面,
则为的中点,
设抛物线方程为,把代入抛物线方程得,
,于是母线,
又由(1)可知,即,,
圆锥的全面积为;
(3)设的中点为,则和为椭圆的长轴顶点,
取的中点,则为椭圆的中心,连接并延长,交于,过作,交圆锥底面圆周于,
则,即,
过作交于,由可知,又,
为靠近的三等分点,连接, ,
中,根据余弦定理
,
,,,
中,过点平行于的线段是,
,,即,
所以椭圆面积
【题目】某乳业公司生产甲、乙两种产品,需要A,B,C三种苜蓿草饲料,生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如下表所示:
产品 苜蓿草饲料 | A | B | C |
甲 | 4 | 8 | 3 |
乙 | 5 | 5 | 10 |
现有A种饲料200吨,B种饲料360吨,C种饲料300吨,在此基础上生产甲乙两种产品,已知生产1个单位甲产品,产生的利润为2万元;生产1个单位乙产品,产生的利润为3万元,分别用x,y表示生产甲、乙两种产品的数量.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲乙两种产品多少时,能够产出最大的利润?并求出此最大利润.