题目内容
【题目】已知点A(0,2),B(4,6), =t1
+t2
,其中t1、t2为实数;
(1)若点M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范围;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何值,A、B、M三点共线;
(3)若t1=a2 , ⊥
,且△ABM的面积为12,求a和t2的值.
【答案】
(1)解:由A(0,2),B(4,6),
得 =(4,4),
∴ =t1
+t2
=(4t2,2t1+4t2),
又点M在第二象限或第三象限,
∴ ,
又t1=2,
解得t2<0且t2≠﹣1,
∴t2的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
(2)证明:t1=1时,
=t1
+t2
=
+t2
,
∴ ﹣
=t2
,
即 =t2
,
∴不论t2为何值,A、B、M三点共线
(3)解:∵当t1=a2时, =(4t2,4t2+2a2),
又∵ =(4,4),
⊥
,
∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,
∴t2=﹣ a2.
∴ =(﹣a2,a2);
又∵| |=4
,
点M到直线AB:x﹣y+2=0的距离为
d= =
|a2﹣1|;
∵S△ABM=12,
∴ |
|d=
×4
×
|a2﹣1|=12,
解得a=±2,此时t2=﹣ a2=﹣1
【解析】(1)由题设条件,得 =(4t2 , 2t1+4t2),又点M在第二象限或第三象限,列出不等式求出t2的取值范围;(2)由平面向量的共线定理,得
=t2
,能证明A,B,M三点共线;(3)由t1=a2表示出
、
,利用
⊥
求出t2=﹣
a2 , 再由S△ABM=12求出a的值和t2的值.
【考点精析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的相关知识点,需要掌握如果、
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量
,有且只有一对实数
、
,使
才能正确解答此题.
