Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=

1

2

，AD=1．
（I）求证：CD⊥平面PAC
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）先证明 PA⊥底面ABCD，可得 PA⊥CD．再根据AC²+CD²=AD²，可得AC⊥CD．再利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面PAC．
（II）设G为AD中点，连结CG，过G作GH⊥PD于H，证明∠GHC 是二面角A-PD-C的平面角．由Rt△PAD和 Rt△GHD相似得

GH

PA

=

DG

DP

，求得 GH=

1

5

，和 CH 的值，可得cos∠GHC=

GH

CH

的值．

解答：解：（I）∵∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，
侧面PAD∩底面ABCD=AD，PA?平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD．
∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．
在底面ABCD中，∵∠ABC=∠PAD=90°，PA=AB=BC=

1

2

，AD=1，
∴AC=CD=

2

，AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD．
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
（II）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．
又∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，CG?平面 ABCD，∴CG⊥平面PAD．
∵PD?平面 PAD，∴CG⊥PD．
过G作GH⊥PD于H，∵CG∩GH=G，∴PD⊥平面 CGH，∴CH⊥PD，∴∠GHC 是二面角A-PD-C的平面角．
由已知得AD=2，PA=AB=CG=DG=1，∴DP=

5

．
由Rt△PAD和 Rt△GHD相似得

GH

PA

=

DG

DP

，∴GH=

1

5

，∴CH=

CG2+GH2

=

1+ 1 5

=

6 5

，
∴cos∠GHC=

GH

CH

=

1 5

6 5

=

6

6

，即二面角A-PD-C的余弦值为

6

6

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求二面角的平面角，体现了转化的数学思想，属于中档题．