题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式在
时恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当时,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)[1,+∞);(3)证明见解析.
【解析】
(1)求导数可得,当
时函数在
上单调递增;当
时易得函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)由(1)知当时,不等式
在
,
时恒成立,当
时,不等式
不成立,综合可得
的范围;
(3)由(2)的单调性易得,进而可得
,
,
,
,将上述式子相加可得结论.
解:(1)求导数可得,
当时,
,
函数
在
上单调递增;
当时,由
可得
,
函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)由(1)知当时,函数
在
上单调递增,
,即不等式
在
时恒成立,
当时,函数在
上单调递减,
存在使得
,
即不等式不成立,
综上可知实数的取值范围为
,
;
(3)由(2)得当时,不等式
在
时恒成立,
即,
,
.
即,
,
,
,
,
将上述式子相加可得
原不等式得证.
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