Question

18．求函数y=（1+sinx）（1+cosx）的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sinx（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，换元由二次函数区间的最值可得．

解答 解：化简可得y=（1+sinx）（1+cosx）
=1+sinx+cosx+sinxcosx，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sinx（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴平方可得t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
换元可得y=1+t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
由二次函数知识可得当t=-1时，函数取最小值0；
当t=$\sqrt{2}$时，函数取最大值$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
∴原函数的值域为[0，$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$]

点评 本题考查三角函数的值域，涉及换元法和二次函数区间的值域，属基础题．