Question

20．抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为l的直线，交E于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2．
（1）求点M到E的准线的距离；
（2）设E的准线与x轴的交点为P，将直线l绕点F旋转直某一位置得直线l′，l′交E与C，D两点，E上是否存在一点N，满足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$？若存在，求直线l′的斜率；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程，将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减，根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到焦点和准线方程，由斜率公式可得M的横坐标，即可得到所求距离；
（2）设出直线l'的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，E上假设存在一点N，满足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$，设N（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），由向量的坐标运算，即可判断是否存在．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因为直线的斜率为1，所以$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
所以有y₁+y₂=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，
即y₁+y₂=4，所以p=2，
所以抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．
MF的斜率为1，可得M的横坐标为3，
即有M（3，2）到准线的距离为3+1=4；
（2）由抛物线的准线方程，可得P（-1，0），
可设直线l'：y=k（x-1），
设C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），
将直线l'方程代入抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
 即有x₃+x₄=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
y₃+y₄=k（x₃+x₄-2）=$\frac{4}{k}$，
E上假设存在一点N，满足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$，
设N（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），则x₃+x₄+2=$\frac{{n}^{2}}{4}$+1，y₃+y₄=n，
即有n=$\frac{4}{k}$，且3+$\frac{4}{{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
即为3+$\frac{{n}^{2}}{4}$=$\frac{{n}^{2}}{4}$，无解．
故E上不存在一点N，满足$\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PN}$．

点评 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算等基础知识，属于中档题．