Question

16．如图，已知圆的两条弦AB，CD，延长AB，CD交于圆外一点E，过E作AD的平行线交CB的延长线于F，过点F作圆的切线FG，G为切点．求证：
（I）△EFC∽△BFE；
（Ⅱ）FG=FE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线平行的性质得∠FEB=∠A，由圆周角定理得∠A=∠C，由此能证明△EFC∽△BFE．
（Ⅱ）由三角形相似的性质得EF²=FB•FC，由切割线定理得FG²=FB•FC，由此能证明FG=FE．

解答 证明：（Ⅰ）∵EF∥AD，∴∠FEB=∠A，
又∠A=∠C，∴∠C=∠FEB，
在△EFC与△BFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠BFE}\\{∠C=∠FEB}\end{array}\right.$，∴△EFC∽△BFE．…（5分）
（Ⅱ）∵△EFC∽△BFE，
∴$\frac{EF}{FB}=\frac{FC}{EF}$，∴EF²=FB•FC，
又FG是圆的切线，由切割线定理得FG²=FB•FC，
∴EF²=FG²，∴FG=FE．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的证明，考查线段相等的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意圆周角定理和切割线定理的合理运用．