Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，2cosx），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间； 
（2）当$\vec a≠\vec 0，\vec a$与$\vec b$共线时，求f（x）的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$．把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得g（x）的图象：g（x）=$\sqrt{2}sin[2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{4}]$+1．再利用正弦函数的单调性即可得出：g（x）的增区间．
（2）当$\vec a≠\vec 0，\vec a$与$\vec b$共线时，可得tanx=4．于是f（x）=$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{2+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1．
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$．
把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得g（x）的图象：g（x）=$\sqrt{2}sin[2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{4}]$+1=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{12}）$+1．
∴$g（x）=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{12}}）$+1．
由$2kπ-\frac{π}{2}$$≤2x-\frac{π}{12}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{5π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{24}$，k∈Z．
∴g（x）的增区间$[{kπ-\frac{5π}{24}，kπ+\frac{7π}{24}}]，k∈Z$．
（2）∵当$\vec a≠\vec 0，\vec a$与$\vec b$共线时，
∴4cos²x-sinxcosx=0，
∴tanx=4．
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx=$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{2+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{2+2×4}{{4}^{2}+1}$=$\frac{10}{17}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．