题目内容
【题目】已知
是坐标系的原点，
是抛物线
的焦点，过点的直线交抛物线于
，
两点，弦
的中点为
，
的重心为
．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设（1）中的轨迹与
轴的交点为
，当直线与
轴相交时，令交点为
，求四边形
的面积最小时直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）设
，根据题意列出
所满足的式子，再消去参数即可求解；（2）联立直线方程与抛物线方程，将四边形
的面积用含的代数式表示出来，求得其最小值以及对应的值即可求解.
（1）焦点
，显然直线
的斜率存在，设
联立
，消去
得，
，设
，
，
，
则
，
，∴
，
∴
，消去，得重心
的轨迹方程为
；（2）由已知及（1）知，
，
，
，
，
，∵
，∴
，
(注：也可根据斜率相等得到)，
，
，
点到直线
的距离
，∴四边形的面积
，
当且仅当
，即
时取等号，此时四边形的面积最小，
所求的直线的方程为
.
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