题目内容

在数列{a_n）中，已知a₁= $数学公式$ ，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：{ $数学公式$ }是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及它的前n项和S_n．

（1）证明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，
∴a_n- $\text{[math]}$ =3（a_n-1- $\text{[math]}$ ）+3ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
∴{ $\text{[math]}$ }是等差数列，且公差为1；
（2）解：由（1）{ $\text{[math]}$ }是等差数列，且公差为1，a₁= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（n-1）×1=n，∴ $\text{[math]}$
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）+ $\text{[math]}$
令T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，①则
3T_n=1×3²+2×3³+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②：-2T_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=- $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$
∴S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
分析：（1）利用数列递推式，结合 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，即可证得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．