Question

（2012•邯郸模拟）在数列{a_n}中，已知an≥1，a1=1且an+1-

a

n

=

2

an+1+an-1

(n∈N*)
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

，若S_n＜k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为an+1-an=

2

an+1+an-1

，所以(an+1-

1

2

)2-(an-

1

2

)2=2，令bn=(an-

1

2

)2，则b_n+1-b_n=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）因为c_n=（2a_n-1）²=8n-7，所以

1

cncn+1

=

1

(8n-7)(8n+1)

=

1

8

(

1

8n-7

-

1

8n+1

)，故Sn=

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

8

(1-

1

9

+

1

9

-

1

17

+…+

1

8n-7

-

1

8n+1

)=

1

8

(1-

1

8n+1

)＜

1

8

，由S_n＜k恒成立，能求出k的取值范围．

解答：解：（I）因为an+1-an=

2

an+1+an-1

，
所以a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
即(an+1-

1

2

)2-(an-

1

2

)2=2，--（2分）
令bn=(an-

1

2

)2
b_n+1-b_n=2，
故{b_n}是以

1

4

为首项，2为公差的等差数列．
所以bn=

1

4

+2(n-1)=

8n-7

4

，--（4分）
因为a_n≥1，故an=

1+ 8n-7

2

．--（6分）
（II）因为c_n=（2a_n-1）²=8n-7，
所以

1

cncn+1

=

1

(8n-7)(8n+1)

=

1

8

(

1

8n-7

-

1

8n+1

)，--（8分）
所以Sn=

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

8

(1-

1

9

+

1

9

-

1

17

+…+

1

8n-7

-

1

8n+1

)
=

1

8

(1-

1

8n+1

)＜

1

8

，--（10分）
因为S_n＜k恒成立，
故k≥

1

8

．--（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和求实数k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．