Question

在数列{a_n）中，已知a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：{

an- 1 2

3n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及它的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，结合

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

，即可证得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．

解答：（1）证明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，
∴a_n-

1

2

=3（a_n-1-

1

2

）+3ⁿ，
∴

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

=

an-3an-1+1

3n

=1
∴{

an- 1 2

3n

}是等差数列，且公差为1；
（2）解：由（1）{

an- 1 2

3n

}是等差数列，且公差为1，a₁=

7

2

，
∴

an- 1 2

3n

=

7 2 - 1 2

3

+（n-1）×1=n，∴an=n•3n+

1

2

∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）+

n

2

令T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，①则
3T_n=1×3²+2×3³+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②：-2T_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=-

1

2

(3-3n+1)-n•3n+1
∴T_n=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

∴S_n=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

+

n

2

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．