题目内容
在数列{an）中，已知a1=
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：{
}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式an及它的前n项和Sn．
【答案】分析：（1）利用数列递推式，结合
-
，即可证得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
解答：（1）证明：∵an=3an-1+3n-1，
∴an-
=3（an-1-
）+3n，
∴
-
=
=1
∴{
}是等差数列，且公差为1；
（2）解：由（1）{
}是等差数列，且公差为1，a1=
，
∴
=
+（n-1）×1=n，∴
∴Sn=（1×31+2×32+…+n•3n）+
令Tn=1×31+2×32+…+n•3n，①则
3Tn=1×32+2×33+…+n•3n+1，②
①-②：-2Tn=31+32+…+3n-n•3n+1=-
∴Tn=
∴Sn=
+
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．
-，即可证得结论；（2）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
解答：（1）证明：∵an=3an-1+3n-1，
∴an-
=3（an-1-）+3n，∴
-==1∴{
}是等差数列，且公差为1；（2）解：由（1）{
}是等差数列，且公差为1，a1=，∴
=+（n-1）×1=n，∴∴Sn=（1×31+2×32+…+n•3n）+
令Tn=1×31+2×32+…+n•3n，①则
3Tn=1×32+2×33+…+n•3n+1，②
①-②：-2Tn=31+32+…+3n-n•3n+1=-
∴Tn=
∴Sn=
+点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．
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，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
}是等差数列；
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
}是等差数列；