题目内容
附加题:(本小题10分,实验班同学必做,其他班学生选做)
是否存在常数a,使得函数f (x)=sin2x+acosx+-在闭区间上的最大值为1?若存在,求出对应的a值;若不存在,说明理由.
存在a=使得f (x)在闭区间上的最大值为1
解:f (x)=sin2x+acosx+-
=1-cos2x+acosx+-=-cos2x+acosx+-
=-(cosx-a)2++-
∵,∴0≤cosx≤1, ………………1分
① 若>1,即a>2,则当cosx=1时,f (x)取得最大值,
f (x)最大值=-(1-a)2++-= ……………3分
令=1,解得<2(舍去) ……………4分
②若0≤≤1,即0≤a≤2,则当cosx=时,f (x)取得最大值,
f (x)最大值=-(a-a)2++-=+- ……………6分
令+-=1,解得或<0(舍去) ……………7分
③若<0,即a<0,则当cosx=0时,f (x)取得最大值,
f (x)最大值=-(0-a)2++-=- ……………8分
令-=1,解得>0(舍去) ……………9分
综上,存在a=使得f (x)在闭区间上的最大值为1 ……………10分
=1-cos2x+acosx+-=-cos2x+acosx+-
=-(cosx-a)2++-
∵,∴0≤cosx≤1, ………………1分
① 若>1,即a>2,则当cosx=1时,f (x)取得最大值,
f (x)最大值=-(1-a)2++-= ……………3分
令=1,解得<2(舍去) ……………4分
②若0≤≤1,即0≤a≤2,则当cosx=时,f (x)取得最大值,
f (x)最大值=-(a-a)2++-=+- ……………6分
令+-=1,解得或<0(舍去) ……………7分
③若<0,即a<0,则当cosx=0时,f (x)取得最大值,
f (x)最大值=-(0-a)2++-=- ……………8分
令-=1,解得>0(舍去) ……………9分
综上,存在a=使得f (x)在闭区间上的最大值为1 ……………10分
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