题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
（1）由题意：
c=1
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
，解得：a=2，b=
3

所以椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由（1）可知A1(0，
3
)，A2(0，-
3
)，设Q（x0，y0），
直线QA1：y-
3
=
y0-
3
x0
x，令y=0，得xS=
-
3
x0
y0-
3
；     
直线QA2：y+
3
=
y0+
3
x0
x，令y=0，得xT=
3
x0
y0+
3
；
则|OS|•|OT|=|
-
3
x0
y0-
3
•
3
x0
y0+
3
|=|
3
x20
y20
-3
|，
而
x20
4
+
y20
3
=1，所以3
x20
=4(3-
y20
)，
所以|OM|•|ON|=|
3
x20
y20
-3
|=4；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则
m2
4
+
n2
3
=1，即m2=4-
4
3
n2．
设圆心到直线l的距离为d，则d=
2
m2+n2
，且d＜
4
7
7
．
所以|AB|=2
16
7
-d2
=2
16
7
-
4
m2+n2
．
所以S△OAB=
1
2
•|AB|•d=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
．
因为d＜
4
7
7
，所以m2+n2＞
7
4
，所以
16
7
-
4
m2+n2
＞0．
所以S△OAB=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
≤
(
4
m2+n2
+
16
7
-
4
m2+n2
2
)2=
8
7
．
当且仅当
4
m2+n2
=
16
7
-
4
m2+n2
，即m2+n2=
7
2
＞
7
4
时，S△OAB取得最大值
8
7
．
由
m2+n2=
7
2
m2=4-
4
3
n2
，解得
m2=2
n2=
3
2
．
所以
m=
2
n=
6
2
或
m=
2
n=-
6
2
或
m=-
2
n=
6
2
或
m=-
2
n=-
6
2
．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
(
2
，
6
2
)，(
2
，-
6
2
)，(-
2
，
6
2
)或(-
2
，-
6
2
)．
此时△OAB的面积为
8
7
．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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