题目内容
【题目】已知椭圆系方程:
(
,
),
是椭圆
的焦点,
是椭圆
上一点,且
.
(1)求的离心率并求出
的方程;
(2)为椭圆
上任意一点,过
且与椭圆
相切的直线
与椭圆
交于
,
两点,点
关于原点的对称点为
,求证:
的面积为定值,并求出这个定值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的方程为:
,由
,∴
, 可得
的值,得到椭圆方程;
(2)由距离公式得到点到直线
的距离
,由弦长公式得到
的面积为
,即可得到面积为定值,得到证明.
试题解析:
(1)椭圆的方程为:
:
即:
∵.∴
,又
即:
又
,
∴椭圆
的方程为:
∴,∴
∴椭圆
的方程为:
;
(2)解法(一):设,则
当直线l斜率存在时,设l为: ,
则,由
联立得:
由得
到直线
的距离
同理,由联立得:
,
当直线l斜率不存在时,易知,
的面积为定值
解法(二):设,由(1)得
为:
,
∴过且与椭圆
相切的直线l:
.且
点关于原点对称点
,点
到直线l的距离
设,
由得
,
,∴
∴的面积为
(定值)
当时,易知
,
综上: 的面积为定值
.
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练习册系列答案
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