题目内容

已知函数y=f（x）是定义在区间 $数学公式$ 上的偶函数，且 $数学公式$ 时，f（x）=-x²-x+5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数g（x）=-x²-x+5， $数学公式$ 的图象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

解（1）当 $\text{[math]}$ 时，-x∈ $\text{[math]}$ ∴f（-x）=-（-x²）-（-x）+5=-x²+x+5
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）∴f（x）=-x²+x+5，x∈ $\text{[math]}$
∴f（x）= $\text{[math]}$
（2）依题意 $\text{[math]}$ ①
将y′=y+b，x′=x+1代入①得 y-b=-（x'-1）²-（x'-1）+52 且 $\text{[math]}$
∴h（x）=-x²+x+5+b且 $\text{[math]}$
由h（x）＜0 $\text{[math]}$ b＜x²-x-5
设y₁=by₂=x²-x-5 $\text{[math]}$
易知y₂在 $\text{[math]}$ ↑， $\text{[math]}$
则当b＜-5时，解集为 $\text{[math]}$ ，当b=-5时，解集{x|1＜ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，解集为φ；
当-5＜b＜ $\text{[math]}$ 时，由x²-x-5-b=0解的 $\text{[math]}$ （舍） $\text{[math]}$
解集为 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
分析：（1）根据偶函数的定义可知先求出函数在区间 $\text{[math]}$ 上的函数解析式，从而求出函数y=f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的解析式；
（2）先根据向量平移求出函数h（x）的解析式，然后讨论b的范围，分别求出不等式h（x）＜0的解集．
点评：本题综合考查了函数的基本性质，已知奇偶性求函数解析式的问题，以及图象的平移和解不等式，属于中档题．