题目内容
【题目】已知定义域为
的函数
满足：对任何
，都有
，且当
时，
．在下列结论：
（1）对任何
，都有
；（2）任意
，都有
；
（3）函数的值域是
；
（4）“函数在区间
上单调递减”的充要条件是“存在
，使得
”．
其中正确命题是（ ）
A.（1）（2）B.（1）（2）（3）C.（1）（3）（4）D.（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】
根据题设条件，结合函数的周期性和单调性，合理赋值，逐项判定，即可求解.
对于（1）中，对任何
，都有
，且当
时，
，
所以
，所以是正确的；
对于（2）中，因为当时，，
可得
，解得
，
即当时，
，所以不正确；
对于（3）中，取
，则
，
可得
，
从而函数
的值域为
，所以是正确的；
对于（4）中，令
，则
，
所以
，
所以函数在区间
上单调递减，而必要性显然成立，所以是正确的，
所以正确的命题为（1）（3）（4）.
故选：C.
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