题目内容

(本题满分12分)在数列中,,其中.
(Ⅰ)证明:当时,数列中的任意三项都不能构成等比数列;
(II)设,试问在区间上是否存在实数使得.若存在,求出的一切可能的取值及相应的集合;若不存在,试说明理由.
(Ⅰ)略
(II)在区间上存在实数,使成立,且当时,;当时,.
(Ⅰ)由已知,假设成等比数列,其中,且彼此不等,则,  ………2分
所以,所以
,则,可得,与矛盾;  ………4分
,则为非零整数,为无理数,
所以为无理数,与是整数矛盾.      
所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. …………………6分        
(Ⅱ)设存在实数,使,设,则,且
,则,所以
因为,且,所以能被整除.  …………………7分
(1)当时,因为,所以;……9分
(2)当时,
由于,所以,所以,当且仅当时,能被整除.…………12分
(3)当时,

由于,所以
所以,当且仅当,即时,能被整除.   ……11分
综上,在区间上存在实数,使成立,且当时,;当时,. …………12分
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