Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC1∥平面CDB1
（2）求证：AC⊥BC1
（3）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图：

设BC1∩B1C=O，则O为BC1的中点，连接OD，

∵D为AB的中点，∴OD∥AC1，

又∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（2）解：∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1．

又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1．

而BC1平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．

（3）解：由（2）得AC⊥平面B1BCC1，

∴直线B1C是斜线AB1在平面B1BCC1上的射影，

∴∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成的角，

在RT△AB1C中，B1C=4 ，AC=3，

∴tan∠AB1C= = ，

直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值为 ．

【解析】（1）设BC1∩B1C=O，由三角形的中位线性质可得OD∥AC1 ， 从而利用线面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1 ， （2）利用勾股定理证明AC⊥BC，证明C1C⊥底面ABC，可得AC⊥CC1 ， 由线面垂直的判定定理证得AC⊥平面BCC1B1 ， 从而证得AC⊥BC1 ． （3）得到∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成的角，解三角形即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，以及对直线与平面平行的判定的理解，了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．