题目内容
．(本小题满分14分)设抛物线
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点作抛物线的两条切线
，切点分别为
,
.
（1）当的坐标为
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系；
（2）求证：直线
恒过定点；
（3）当
变化时，试探究直线上是否存在点，使
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.
解：(1)当
的坐标为
时，设过点的切线方程为
，代入
，整理得
，
令
，解得
，
代入方程得
，故得
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到
的中点
的距离为
，
从而过
三点的圆的方程为
．
易知此圆与直线
相切.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为
,
,过抛物线上点的切线方程为
，代入，整理得
，又因为
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而过抛物线上点的切线方程为
即
又切线过点
，所以得
① 即
同理可得过点的切线为
，
又切线过点，所以得
② 即
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足
即
，故直线的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线
上任意一点，故
对任意
成立，所以
，从而直线恒过定点
.．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法二：设过的抛物线的切线方程为
，代入，消去
，得
即：
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而
，
此时
，
所以切点
的坐标分别为
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因为
，
，
，
所以的中点坐标为
故直线的方程为
，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
证法三：由已知得
，求导得
，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为
即
又切线过点，所以得 ① 即
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ②
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②两式知
是方程
的两实根，故有
（*）
将
，
，代入上（*）式得
∴
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①当
时，
，直线
上任意一点均有
，
为直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②当
时，
，
，不可能为直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③当
时，
，
.
因为，
，
所以
若
，则
，整理得
，
又因为
，所以
，
因为方程有解的充要条件是
.
所以当时，有
或
，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或
时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知
，
且是方程
的两实根，即
，从而，
所以
当
时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当
时，即
时，
与
不垂直。
因为，，
所以
若，则，整理得，
又因为，所以，
因为方程有解的充要条件是.
所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
【解析】略
小学同步三练核心密卷系列答案
(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）