Question

已知函数，其中.
(1)是否存在实数，使得函数在上单调递增？若存在，求出的值或取值范围；否则，请说明理由．
(2)若a<0，且函数y＝f(x)的极小值为，求函数的极大值。

Answer 1

(1)存在a＝；（2）.

试题分析：（1）利用导数求得函数单调递增满足的条件；（2）先求出函数的两个极值点，根据a<0确定极大值与极小值点，由函数的极小值求得，再求出极大值.
(1)∵，
∴．
由可得≥0.即在x∈R时恒成立．
∴Δ＝(a＋2)²－4(－2a²＋4a)≤0，即(3a－2)²≤0，即a＝，此时，f′(x)＝(x＋)²e^x≥0，函数y＝f(x)在R上单调递增．(2)由f′(x)＝0可得e^x[x²＋(a＋2)x－2a²＋4a]＝0，解之得x₁＝－2a，x₂＝a－2.
当a<0时，－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

 
由条件可知，f(－2a)＝－e，即3a·e^－2a＝－e，可得a＝－.
此时，f(x)＝(x²－x－2)e^x，极大值为f(a－2)＝f(－)＝.