Question

定义在R上的函数f（x）满足f(x+

3

2

)+f(x)=0，且函数y=f(x-

3

4

)为奇函数，给出下列命题：①函数f（x）的最小正周期是

3

2

；②函数y=f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

①：由题意可得f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为3，故①错误
②：由y=f（x-

3

4

）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x-

3

4

）向左平移

3

4

个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，故②正确
③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-

3

4

-x）=-f（ -

3

4

+x），用

3

4

+x代换x，可得：f（-

3

2

-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）对于任意的x∈R都成立．令t=

3

2

+x，则f（-t）=f（t），则可得函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故③正确
故选：B．