Question

等比数列{a_n}中，已知对任意自然数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　　）

• A．

  4n-1

  3

• B．（2ⁿ-1）²
• C．4ⁿ-1
• D．2ⁿ-1

Answer 1

分析：根据所给的对任意自然数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，给n取1和2，得到数列的前两项，得到等比数列{a_n2}是首项是1，公比是4的等比数列，应用等比数列的前n项和公式得到结果．

解答：解：∵当n=2时，a₁+a₂=3，
当n=1时，a₁=1，
∴a₂=2，
∴公比q=2，
∴等比数列{a_n}是首项是1，公比是2的等比数列，
∵a₁²=1，a₂²=4，
∴等比数列{a_n2}是首项是1，公比是4的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故选A．

点评：有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．