题目内容

（2000•上海）已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=
.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
分析：（Ⅰ）由题设，|w|=|
.
z0
•
.
z
|=|z0||z|=2|z|，求出|z0|=2，继而求出m，再根据复数相等得出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）利用转换，代换的方法，求轨迹方程；
（Ⅲ）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为y=kx+b（k≠0）
结合以上两问求解．
解答：解：（Ⅰ）由题设，|w|=|
.
z0
•
.
z
|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，
于是由1+m2=4，且m＞0，得m=
3
，…（3分）
因此由x′+y′i=
.
(1-
3i
)
•
.
(x+yi)
=x+
3y
+(
3x
-y)i，
得关系式
x′=x+
3y
y′=
3x
-y
…（5分）
（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足
x′=(1+
3
)x+
3
y′=(
3x
-1)x-1
，…（7分）
消去x，得y′=(2-
3
)x′-2
3
+2，
故点Q的轨迹方程为y=(2-
3
)x-2
3
+2…（10分）
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+
3
y，
3
x-y)仍在该直线上，
∴
3
x-y=k(x+
3
y)+b，
即-(
3
k+1)y=(k-
3
)x+b，
当b≠0时，方程组
-(
3
k+1)=1
k-
3
=k
无解，
故这样的直线不存在．                                            …（16分）
当b=0时，由
-(
3
k+1)
1
=
k-
3
k
，
得
3
k2+2k-
3
=0，
解得k=
3
3
或k=-
3
，
故这样的直线存在，其方程为y=
3
3
x或y=-
3
x，…（18分）
[解法二]取直线上一点P(-
b
k
，0)，其经变换后的点Q(-
b
k
，-
3
b
k
)仍在该直线上，
∴-
3
b
k
=k(-
b
k
)+b，
得b=0，…（14分）
故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+
3
k，
3
-k)仍在该直线上．
∴
3
-k=k(1+
3
k)，…（16分）
即
3
k2+2k-
3
=0，得k=
3
3
或k=-
3
，
故这样的直线存在，其方程为y=
3
3
x或y=-
3
x，…（18分）
点评：本题考查复数的有关概念和计算，轨迹方程的求解，考查转化、代入、计算、推理能力．
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x
，x∈[1，+∞），
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1
2
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1
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.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(
3
，2)，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

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