题目内容
(本小题满分16分)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+
.
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn;
(2)记bn=an-,若自然数n1,n2,…,nk,…满足1≤n1<n2<…<nk<…,并且
,
,…,
,…成等比数列,其中n1=1,n2=3,求nk(用k表示);
(3)试问:在数列{an}中是否存在三项ar,as,at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)因为a1=2+,S3=3a1+3d=12+
,所以d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n+, Sn=
=n2+(
+1)n.
(2)因为bn=an-=2n,所以
=2nk.又因为数列{
}的首项
=
,
公比,所以
.所以2nk
,即nk
.
(3)假设存在三项ar,as,at成等比数列,则,
即有,整理得
.
若,则
,因为r,s,t∈N*,所以
是有理数,
这与为无理数矛盾;
若,则
,从而可得r=s=t,这与r<s<t矛盾.
综上可知,不存在满足题意的三项ar,as,at.
【解析】略

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