题目内容

(本小题满分16分)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+

(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn

(2)记bn=an,若自然数n1,n2,…,nk,…满足1≤n1<n2<…<nk<…,并且,…,,…成等比数列,其中n1=1,n2=3,求nk(用k表示);

(3)试问:在数列{an}中是否存在三项ar,as,at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)因为a1=2+,S3=3a1+3d=12+,所以d=2.

所以an=a1+(n-1)d=2n+, Sn=n2+(+1)n.

(2)因为bn=an=2n,所以=2nk.又因为数列{}的首项

公比,所以.所以2nk,即nk

(3)假设存在三项ar,as,at成等比数列,则

即有,整理得

,则,因为r,s,t∈N*,所以是有理数,

这与为无理数矛盾;

,则,从而可得r=s=t,这与r<s<t矛盾.

综上可知,不存在满足题意的三项ar,as,at

【解析】略

 

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