Question

【题目】已知圆与x轴的正半轴交于点A，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹记为曲线，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线交于B，C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M，直线AC与圆O的另一个交点为N，设直线AB，AC的斜率分别为.

（1）求的值；

（2）判断是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值为

【解析】

（1）设线段中点为，则，将点代入圆方程，求出曲线方程，设，则，求出，结合点在椭圆上，即可得出结论；

（2）设，，分别设直线AB，AC为，且，将直线方程分别与圆、椭圆联立，求出，即可求出结果.

解：（1）设线段PQ中点为，则，

代入圆方程即得D点轨迹方程为，

设，则，且，

则

；

（2）分别设直线AB，AC为，

且，

，

，

同理可得：，

所以，

所以.