Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：
（2）若对任意x1 ， x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣ 成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，所以f'（0）=﹣2，

因为f（0）=1，

所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1=0

由 解得x=2，则f'（x）及f（x）的变化情况如下：

x	（﹣∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

所以函数f（x）在x=2时，取得极小值

（2）解：由题设知：当x＞1时， ，当x＜1时， ，

若a＜1，令x1=2，x2∈[a，1），则x1，x2∈[a，+∞），

由于 ，显然不符合题设要求

若a≥1，对x1，x2∈[a，+∞），f（x1）≤0，f（x2）≤0，

由于 ，

显然，当a≥1，对x1，x2∈[a，+∞），不等式 恒成立，

综上可知，a的最小值为1

【解析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程；求得单调区间，可得极值；（2）对a讨论，若a＜1，若a≥1，讨论f（x1）﹣f（x2）的最值或范围，即可得到所求a的最小值．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．