Question

【题目】已知函数f（x）=cos（2x+ ）+1，△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．
（1）若角A、B、C成等差数列，求f（B）的值；
（2）若f（ ﹣ ）= ，边a、b、c成等比数列，△ABC的面积S= ，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵角A、B、C成等差数列，可得：2B=A+C，

又∵A+B+C=π，

∴B= ，

∴可得：f（B）=cosπ+1=0．

（2）解：∵f（ ﹣ ）=cos[2（ ﹣ ）+ ]+1=cosB+1= ，

∴cosB= ，可得sinB= = ，

∴S= acsinB= ac= ，可得：ac=2，

∵a、b、c成等比数列，即b2=ac，

∴b= ，

又∵由余弦定理可得：cosB= = = = ，

∴解得：a+c=3．

∴△ABC的周长=a+b+c=3+ ．

【解析】（1）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求B的值，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）化简已知等式可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式，等比数列的性质可求b，利用余弦定理可求a+c，从而计算得解三角形的周长．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．