Question

设函数f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-2cos2ωx+1，若f（x）的最小正周期为8．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，2]时y=g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据周期求ω的值；
（Ⅱ）结合（Ⅰ），求出y=f（x）的表达式，图象关于直线x=1对称，求出函数y=g（x），根据x∈[0，2]，求出y=g（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωxcos

π

6

-cos2ωxsin

π

6

-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx
=

3

sin(2ωx-

π

3

)（4分）
∵f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=8，故ω=

π

8

（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)
在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2-x，g（x））．
由题设条件，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]
=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos(

π

4

x+

π

3

)（8分）
当0≤x≤2时，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

5π

6

，
因此当x=2时，y=g（x）在区间[0，2]上取得最小值为：gmin(x)=

3

cos

5π

6

=-

3

2

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．