题目内容

(08年岳阳一中二模理)(13分) 对于函数,若存在,使成立,则称的不动点。如果函数有且仅有两个不动点,且

(1)试求函数的单调区间;

(2)已知各项不为零的数列满足,求证:

(3)设为数列的前项和,求证:

解析:(1)设

                ∴     ∴

           由

      又∵    ∴     ∴            

   于是

           由;   由

           故函数的单调递增区间为

单调减区间为                       ……4分

(2)由已知可得,     当时,

     两式相减得

时,,若,则这与矛盾

     ∴                       ……6分

于是,待证不等式即为。为此,

我们考虑证明不等式

再令     由

∴当时,单调递增    ∴   于是

        ①

    由

∴当时,单调递增    ∴   于是

     ②

由①、②可知                

所以,,即         ……9分

(3)由(2)可知   则

     在中令,并将各式相加得

    

     即                            ……13分

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