题目内容
(08年岳阳一中二模理)(13分) 对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、,且。
(1)试求函数的单调区间;
(2)已知各项不为零的数列满足,求证:;
(3)设,为数列的前项和,求证:。
解析:(1)设
∴ ∴
由
又∵ ∴ ∴
于是
由得或; 由得或
故函数的单调递增区间为和,
单调减区间为和 ……4分
(2)由已知可得, 当时,
两式相减得
∴或
当时,,若,则这与矛盾
∴ ∴ ……6分
于是,待证不等式即为。为此,
我们考虑证明不等式令则,
再令, 由知
∴当时,单调递增 ∴ 于是
即 ①
令, 由知
∴当时,单调递增 ∴ 于是
即 ②
由①、②可知
所以,,即 ……9分
(3)由(2)可知 则
在中令,并将各式相加得
即 ……13分
练习册系列答案
相关题目