Question

【题目】抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0 ， y0）（x0≠0）作斜率为k1 ， k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1 ， y1）B（x2 ， y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足 =λ ，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax2（a＜0）得，焦点坐标为（0， ），准线方程为y=﹣ ．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y﹣y0=k1（x﹣x0），直线PB的方程为y﹣y0=k2（x﹣x0）．
点P（x0 ， y0）和点A（x1 ， y1）的坐标是方程组 的解．
将②式代入①式得ax2﹣k1x+k1x0﹣y0=0，于是x1+x0= ，故x1= ﹣x0 ③．
又点P（x0 ， y0）和点B（x2 ， y2）的坐标是方程组 的解．
将⑤式代入④式得ax2﹣k2x+k2x0﹣y0=0．于是x2+x0= ，故x2= ﹣x0 ．
由已知得，k2=﹣λk1 ， 则x2=﹣ ﹣x0 ． ⑥
设点M的坐标为（xM ， yM），由 =λ ，可得 xM= ．
将③式和⑥式代入上式得xM= =﹣x0 ，
即xM+x0=0．所以线段PM的中点在y轴上．
（Ⅲ）因为点P（1，﹣1）在抛物线y=ax2上，所以a=﹣1，抛物线方程为y=﹣x2 ．
由③式知x1=﹣k1﹣1，代入y=﹣x2 得 y1=﹣（k1+1）2 ．
将λ=1代入⑥式得 x2=k1﹣1，代入y=﹣x2得 y2=﹣（k2+1）2 ．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（﹣k1﹣1，﹣k12﹣2k1﹣1），B（k1﹣1，﹣k12+2k1﹣1）．
于是 =（k1+2，k12+2k1）， =（2k1 ， 4k1），
=2k1（k1+2）+4k1（k12+2k1）=2（k1+2）（2+k11）．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有 ＜0．
求得k1的取值范围是k1＜﹣2，或﹣ ＜k1＜0．
又点A的纵坐标y1满足y1=﹣（k1+1）2 ， 故当k1＜﹣2时，y1＜﹣1；当﹣ ＜k1＜0时，﹣1＜y＜﹣ ．
即y1∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，﹣ ）．
【解析】（Ⅰ）数形结合，依据抛物线C的标准方程写焦点坐标和准线方程．（Ⅱ）先依据条件求出点M的横坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，证明xM+x0=0．（Ⅲ）∠PAB为钝角时，必有 ＜0．用k1表示y1 ， 通过k1的范围来求y1的范围．