Question

13．已知偶函数f（x）：Z$\stackrel{f}{→}$Z，且f（x）满足：f（1）=1，f（2015）≠1，对任意整数a，b都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，其中max（x，y）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≥y}\\{y，x＜y}\end{array}\right.$，则f（2016）的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 先根据已知条件求出f（2），f（3），f（4）…找到其规律即可得到答案．

解答 证明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}
f（2）=f（1+1）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，
f（3）=f（1+2）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，
f（4）=f（1+3）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，
…，
f（2015）≤max{f（1），f（2014）}=1，即f（2015）≤1．
因为 f（2015）≠1，所以f（2015）＜1，
从而 f（2016）≤max{f（1），f（2015）}=1，即f（2016）≤1．
假设 f（2016）＜1，
因为 f（x）为偶函数，所以f（-2015）=f（2015）．
于是 f（1）=f（2016-2015）≤max{f（2016，f（-2015）}=max{f（2016），f（2015）}＜1，
即 f（1）＜1．这与f（1）=1矛盾．
所以f（2016）＜1不成立，从而只有f（2016）=1．
故选：B

点评 本题主要考查函数的值．解决本题的关键利用合情推理进行一步步向前推，找到其最基本的地方即可．