Question

11．若不等式x²+（a-3）x+1≥0对一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$都成立，则a的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 不等式x²+（a-3）x+1≥0对一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立?a-3≥（-x-$\frac{1}{x}$）_max，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$．令f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：不等式x²+（a-3）x+1≥0对一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立?a-3≥（-x-$\frac{1}{x}$）_max，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$．
令f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$，f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最大值，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$．
∴a的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．