题目内容
【题目】在直角坐标系中,椭圆
的左、右焦点分别为
,点
在椭圆
上且
轴,直线
交
轴于
点,
,
为椭圆
的上顶点,
的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
交椭圆
于
,
,且满足
,求
的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】【试题分析】(1)将代入椭圆方程,求得
点的纵坐标,利用中点
的坐标建立一个方程.利用
的面积联立第二个方程,结合
,解方程组求得
的值,即求得椭圆的方程.(2)对
两边平方化简得
.当直线
斜率不存在时,求得
两点的坐标,验证可知不符合题意.当直线斜率存在时,设出直线方程,联立直线方程和椭圆的方程,消去
后斜率韦达定理,利用
得
,列方程求得直线的斜率.最后利用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形面积.
【试题解析】
(1)设,由题意可得
,即
.
∵是
的中位线,且
,∴
,即
,整理得
.①
又由题知, 为椭圆
的上顶点,∴
的面积
,
整理得,即
,②
联立①②可得,变形得
,解得
,进而
.
∴椭圆的方程为
.
(2)由可得
,两边平方整理得
.
直线斜率不存在时,
,
,不满足
.
直线斜率存在时,设直线
的方程为
,
,
,
联立,消去
,得
,
∴,
,(*)
由得
.
将,
代入整理得
,
展开得,
将(*)式代入整理得,解得
,
∴,
,
的面积为
,
代入计算得,即
的面积为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目