Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）在函数y=$\frac{3}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$x上，且a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）记数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为B_n，设d_n=$\frac{1}{{{b_n}•{B_n}^2}}$，证明：d₁+d₂+…+d_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由点（n，T_n）在函数y=$\frac{3}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$x上，得：${T_n}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$，求出{a_n}的通项公式，再由a_n+2+3log₄b_n=0即可求出{b_n}的通项公式；
（2）由${c_n}={a_n}•{b_n}=（3n-2）{（\frac{1}{4}）^n}$且s_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求出①，②由数列的裂项相减法，即可求出数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）由$\frac{1}{b_n}={4^n}$，求出数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为${B_n}=\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{4}{3}（{4^n}-1）$，又d_n=$\frac{1}{{{b_n}•{B_n}^2}}$，然后利用不等式的放缩法求解，即可证明所求结论．

解答 （1）解：由点（n，T_n）在函数y=$\frac{3}{2}{x^2}-\frac{1}{2}$x上，得：${T_n}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$，
（ⅰ）当n=1时，${a}_{1}={T}_{1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$．
（ⅱ）当n≥2时，a_n=T_n-T_n-1=3n-2，
∴a_n=3n-2．
又∵a_n+2+3log₄b_n=0，
∴${b_n}={4^{-n}}=\frac{1}{4^n}$；
（ 2）解：∵${c_n}={a_n}•{b_n}=（3n-2）{（\frac{1}{4}）^n}$且s_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴${S_n}=1×\frac{1}{4}+4×{（\frac{1}{4}）^2}+7×{（\frac{1}{4}）^3}+…+（3n-2）{（\frac{1}{4}）^n}$…①$\frac{1}{4}{S_n}=0+1×{（\frac{1}{4}）^2}+4×{（\frac{1}{4}）^3}+…+（3n-5）×{（\frac{1}{4}）^n}+（3n-2）{（\frac{1}{4}）^{n+1}}$…②
由①-②得：$\frac{3}{4}{S_n}=\frac{1}{4}+3[{（\frac{1}{4}）^2}+{（\frac{1}{4}）^3}+…+{（\frac{1}{4}）^n}]-（3n-2）{（\frac{1}{4}）^{n+1}}$，$\frac{3}{4}{S_n}=\frac{1}{4}+3\frac{{\frac{1}{16}（1-\frac{1}{{{4^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{4}}}-（3n-2）{（\frac{1}{4}）^{n+1}}$，
整理得：${S_n}=\frac{2}{3}-\frac{3n+2}{3}{（\frac{1}{4}）^n}$；
（3）证明：∵$\frac{1}{b_n}={4^n}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为${B_n}=\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{4}{3}（{4^n}-1）$．
∵${d_n}=\frac{1}{{{b_n}•{B_n}^2}}=\frac{1}{{\frac{1}{4^n}×\frac{16}{9}{{（{4^n}-1）}^2}}}=\frac{{9×{4^n}}}{{16{{（{4^n}-1）}^2}}}$，
∵$\frac{{9×{4^n}}}{{16{{（{4^n}-1）}^2}}}＜\frac{{9×{4^n}}}{{16（{4^n}-1）（{4^{n-1}}-1）}}=\frac{3}{4}（\frac{1}{{{4^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{4^n}-1}}）（n≥2）$，
∴${d_1}+{d_2}+…+{d_n}＜{d_1}+\frac{3}{4}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{15}）+（\frac{1}{15}-\frac{1}{63}）+…+（\frac{1}{{{4^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{4^n}-1}}）]$．
即${d_1}+{d_2}+…+{d_n}＜\frac{1}{2}-\frac{3}{{4（{4^n}-1）}}＜\frac{1}{2}$．
当n=1时${d_n}=\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用数列的裂项相减法，考查了数列与不等式的综合，会用不等式的放缩法求解，考查了学生的计算能力，是难题．